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一道随机数题目的求解

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有这样一道算法题:

给定一个能够生成均匀1~5随机枚举数的函数,请设计一个能够生成均匀1~7随机枚举数的函数。

就是说,有一个生成随机数的函数rand5,可能返回1、2、3、4、5这5个枚举值,其中每个值被返回的概率都是严格的1/5,现在需要设计一个类似的随机数函数rand7,可能返回1、2、3、4、5、6、7这几个枚举值,每个值被返回的概率都是严格的1/7。

先掩卷思考,脑海中浮现的思路包括:

  • 调用rand5的结果除以5,再乘以7,这样的结果范围为7/5~7,并非所希望的结果;

  • 反复调用rand5函数7次,结果再除以5,这样的结果范围为也为7/5 ~ 7,并非所希望的结果。

如果题目反过来呢,已知rand7,求rand5呢?

那我可以先调用rand7,看看结果,如果结果为1~5,直接返回;如果结果为6、7,继续重试不就得了?

那再回到现实,怎么根据rand5求rand7?

  • 如果rand5 * 2的结果,范围是2~10,用上面类似的办法只能得到2~7的值,无法得到1,不合题意。

但是依然得到了一种启发,调用一次rand5,结果的各种可能性有5种,要映射到rand7的7种结果可能性,是不现实的。但是如果扔两次,在不考虑去重的情况下,结果有5*5=25种可能,用某种方式映射并保留那最终的7种可能性,却是一个值得去尝试的思路。

想到了5*5,于是尝试建立二维数组arr[5][5],那么数组的每一个元素都可以表示一种结果的可能性,在数组中取前7个元素,分别映射到1~7:

[1, 2, 3, 4, 5]
[6, 7, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]
[0, 0, 0, 0, 0]

于是调用rand5两次,分别得到横坐标i和纵坐标j,如果arr[i][j]>0,则保留,否则重试。

这样的方法还不完美,因为25个数里面只有7个是有效的,大部分情况下都只能重试了,效率太低。

于是,在这个二维数组里面不止保留前7位,而是尽可能多地保留了所有7的完整倍数:

[1, 2, 3, 4, 5]
[6, 7, 1, 2, 3]
[4, 5, 6, 7, 1]
[2, 3, 4, 5, 6]
[7, 0, 0, 0, 0]

这样一来,大部分情况下,都会命中大于0的元素。

那就写出代码:

public class R {
    private static Random random = new Random();
    private static int[][] arr = new int[][]{
        {1,2,3,4,5},
        {6,7,1,2,3},
        {4,5,6,7,1},
        {2,3,4,5,6},
        {7,0,0,0,0}
    };
  
    public static int rand5(){
        random.setSeed(System.nanoTime());
        return random.nextInt(5) + 1;
    }
      
    public static int rand7() {
        int i = rand5() - 1;
        int j = rand5() - 1;
          
        if (i == 4 && j >= 1)
            return rand7();
  
        return arr[i][j];
    }
}

再写个main函数测试一下:

Map<Integer, Integer> counter = new HashMap<Integer, Integer>();
  
for (int i = 0; i < 10000000; i++) {
    int key = rand7();
    Integer val = counter.get(key);
    if (null == val)
        val = 0;
    val++;
    counter.put(key, val);
}
  
for (Map.Entry<Integer, Integer> entry : counter.entrySet()) {
    System.out.println(entry.getKey() + ": " + entry.getValue());
}

重复测试一千万次,但是从结果看,分布却并不足够随机:

1: 1476605
2: 1764393
3: 1274549
4: 1219960
5: 1454842
6: 1425833
7: 1383818

重复测试了几次,都是输出2的情况居多。就这个数据量而言,我觉得这不是巧合。

为了让这个可能的差异更加明显,我把从rand5求rand7改成了从rand2求rand3:

public class R {
    private static Random random = new Random();
    private static int[][] arr = new int[2][2];
    static {
        arr[0][0] = 1;
        arr[0][1] = 2;
        arr[1][0] = 3;
        arr[1][1] = 0;
    }
  
    public static int rand2(){
        random.setSeed(System.nanoTime());
        return random.nextInt(2) + 1;
    }
      
    public static int rand3() {
        int i = rand2() - 1;
        int j = rand2() - 1;
  
        if (i == 1 && j == 1)
            return rand3();
  
        return arr[i][j];
    }
}

再同样测试一千万次,结果却大跌眼镜:

One: 5043264
Two: 2472499
Three: 2484237

居然有一倍的差异。

怎么回事呢?我开始怀疑Java的这个伪随机函数得出的结果(在计算机的世界里要实现绝对随机是不可能的)不足够随机,于是写了个程序调用一千万次Java的伪随机函数来看结果:

Map<Integer, Integer> counter = new HashMap<Integer, Integer>();
  
for (int i = 0; i < 10000000; i++) {
    random.setSeed(System.nanoTime());
    int key = random.nextInt(7) + 1;
      
    Integer val = counter.get(key);
    if (null == val)
        val = 0;
    val++;
    counter.put(key, val);
}
  
for (Map.Entry<Integer, Integer> entry : counter.entrySet()) {
    System.out.println(entry.getKey() + ": " + entry.getValue());
}

从结果来看分布非常均匀:

1: 1429576
2: 1425422
3: 1427902
4: 1427424
5: 1429457
6: 1430664
7: 1429555

一下子觉得百思不得其解。

于是我重新审视自己的思路,还是觉得没有什么问题。虽然总结果最初有25个,但是前21个的结果每个得到的可能性都是一致的,最后四个丢掉并重来,继续的测试依然是能保证结果概率均等的。本质上这种方式在统计学上面叫做“Reject Sampling”。

我请教了一下数学家@万精油墨绿,他说思路是没什么问题的,有问题的话,只能是代码的问题。

其实还有一种方法,本质上也是类似的,即根据:

5 * (rand5()-1) + rand5()

上面这个式子的结果可以得到从1到25所有的结果,并且显而易见这25个结果出现时,这两个rand5()都可以被唯一确定返回值,因此他们出现的概率都是彼此相等的。于是可以根据上面的公式,在结果大于3*7=21的时候重新计算,否则则返回除以7的余数即可:

public class R {
    private static Random random = new Random();
  
    public static int rand5() {
        random.setSeed(System.nanoTime());
        return random.nextInt(5) + 1;
    }
  
    public static int rand7() {
        int i = rand5();
        int j = rand5();
  
        int res = 5 * (i - 1) + j;
  
        if (res > 21)
            return rand7();
  
        return res % 7 + 1;
    }
}

同样跑了几次测试,每次测试一千万条数据,这次发现这个偏大的数跑到3上面去了:

1: 1383566
2: 1486463
3: 1748051
4: 1275854
5: 1219712
6: 1451438
7: 1434916

这么一来反而有点开窍的感觉了,我觉得是不是因为Java的伪随机数生成的方法,生成的数不足够随机呢?虽然看起来是随机的,但是那也只是看起来而已。当用“小随机”去生成“大随机”的时候,那些不随机的缺陷被放大了。而比较rand2生成rand3,和rand5生成rand7,明显是前者“放大”的倍数更大,因此最后得出的结果中,“随机性”显得差。

为了进一步检验这种猜想,我开始考虑能否让随机数的种子变化更大。因为目前使用的随机数种子是System.nanoTime(),这个方法看似纳秒,其实也只是:

Returns the current value of the most precise available system timer, in nanoseconds.

我想在我的实验中它远比毫秒精确,但是也只是保证了尽可能精确而已。

那好,要验证或者说部分验证这样的猜想,现在假设这样的猜想是正确的,那么可以得出这样的推论:

  1. 如果随机数种子换成System.currentTimeMillis(),也就是说,换成毫秒,那么最后的结果应该是更不随机;

  2. 如果我在每次取随机数之前休息几毫秒,使得每两次之间的时间种子差异增大,应该能够看到最终的结果随机性增加。

(注,我测试的版本下JDK对于设置的种子的处理方式是:seed = (seed ^ 0x5DEECE66DL) & ((1L << 48) -1)。)

好吧,现在来验证第一条,为了尽可能使得结果明显,使用rand2生成rand3的那个方案。把使用纳秒作为随机数种子改成使用毫秒作为随机数种子,结果居然是:

One: 10000000
Two: 0
Three: 0

换言之,二维数组中横坐标和纵坐标居然在一千万次测试当中,得到的都是一样的结果,即绝大多数情况下求i和j的操作都在同一个毫秒量级内完成。

现在来验证第二条,在每次取随机数前,休眠3毫秒,当然,这个3毫秒肯定也是不精确的3毫秒。为了在增加休眠时间的情况下,能够在我的耐心时间范围内得到最终结果,我没法测试一千万次了,我的测试用例改成了测试一万次,结果为:

One: 3691
Two: 3103
Three: 3206

果然,分布的均匀性要好了很多。

还蛮好玩的。

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