10 连抽保底的概率模型

网游里有很多抽卡、开箱子之类的赌性玩法，在最开始，游戏设计者实现的时候，仅仅给这些抽取概率简单的设置了一个值。比如抽卡抽出橙卡的概率是 10% ，那么就是说，玩家每次抽一张卡，有 90% 的可能是白卡，10% 的可能是橙卡。

但大 R 玩家是大爷，需要小心伺候。如果感受不好，人跑了就亏大了。概率这个东西靠改进伪随机数发生器是解决不了体验问题的，大爷要是连抽 20 张都出不来橙卡，那是要怒删游戏的。

连抽 20 张 10% 概率橙卡一张都抽不到的机会多不？一张抽不中的概率是 0.9 ，20 张都抽不中的概率是 0.9 ^20 = 12.2% 。这可不算小数字啊。平均 8 个大 R 就会碰到一次，一下子赶跑了 1/8 的金主，这个责任小策划可担当不起。

所以、一般网游都会用各种规则来避免玩家出现连抽不中的尴尬。例如，我忘记是谁发明的 10 连抽规则：如果你购买一个大包连抽 10 次，我在规则上就保证里面一定至少有一张橙卡。实现它应该并不困难，按常规概率生成 10 张的卡包，如果里面没有橙卡，那么我加一张即可。

但如果我想把 10 抽保底的规则惠及日常抽卡的玩家该怎么做呢？

就是说，我希望任何玩家任何时候，接连抽了 10 张卡，我都想保证这 10 张卡里至少有一张橙卡。

首先，要说明的一点：如果你同时想保证橙卡掉落率是 10% ，也就是在极大范围内，比如系统投放了一万张卡片中，其中要有一千张橙卡。那么同时保证每 10 张卡里有至少一张橙卡的话，结果一定是完全不随机的，也就是必须每抽 9 张白卡，必出一张橙卡。

所以、如果即想要随机（出橙卡的概率稳定），又想有 10 张出一张的保底，那么橙卡投放量是一定超过 1/10 的。

我们之前的游戏用了个很粗暴的方案：记录玩家已经连续几次没有抽中，如果连续次数超过 9 ，就必给他一张橙卡。为什么我说这个方案粗暴，因为它其实破坏了抽卡的自然体验。虽然玩家的确更高兴了，但是概率却很不自然。不自然的方案（其实是生硬的打了个补丁）实现起来还容易出错，我们前段时间就因为实现 bug 多发放了很多稀有物品，这个 bug 就不展开说了。

下面来看看，为什么这么做不自然。

假设橙卡的掉率是 10% ，那么你在获得一张橙卡后，再抽下一张橙卡的概率就是 0.1 。下一张是白卡，再下一张是橙卡的概率是 0.9 * 0.1 ，下两张是白卡，第三张是橙卡的概率是 0.9^2 * 0.1 ……

后续有 10 张及 10 张以上的概率总共有多少呢？我算了一下，大约是 35% 左右。

我们把抽到两张橙卡之间会抽取到的白卡张数排成一个数列的话，这个数列的值的范围是 0 到正无穷。是的，非洲酋长可能永远抽不到橙卡。当然这只是理论值。

如果你读过大学，学的是理工科，没有逃课的话，就应该知道，这个数列是大致符合指数分布的。指数分布正是用来表示独立随机事件发生的时间间隔的。

当我们把这个数列中大于 9 的数字都强行改成 9 ，那么 9 的出现频率就陡然跳变，这是极不自然的。（分布不平滑）

从一致分布的随机数，转换为指数分布的随机数非常简单。如果你懒得自己推导，那么可以在爆栈网上找到公式 。

让我们回答前面的问题，如果我希望获得一个大约每 10 张卡里出一张橙卡的随机数列，除了每次 random 一个 [0,10) 的整数，判断证书是不是 0 以外，还有一个方法。那就是每次抽到一个橙卡后，都从一个指数分布的随机数列中取一个值出来，作为接下来会抽取到白卡的张数。按这个张数去发放白卡，等计数器减到 0 ，就发一张橙卡给玩家。这个白卡张数的数值范围是 [0, inf) 。

用 lua 实现的话，大概是这样的：

math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate)) 其中 rate = 10 。

好了，如果我们想加上 10 张保底，又想让间隔大致符合指数分布怎么办？简单：
function erand(rate)
while true do
local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
if p < rate then
return p
end
end
end

让产生出来的数字小于 10 的时候重来一次就好了。如果你担心这里死循环（实际并不会），也可以加上循环上限：

function erand(rate)
for i = 1, 100 do -- 100 可以随便写
local p = math.floor(math.log(1-math.random()) * (-rate))
if p < rate then
return p
end
end
return rate-1
end

当然，一旦加上了 10 张保底，单张出橙卡的概率就大大增加了，增加到多少呢？大约是 21%。如果你希望保持 10% 左右的投放率，那么保底张数大约应该设置在 23 张左右。

ps. 今天在公司群里讨论这个问题时，雷先生提了这么一个问题，说是可以用来做数值策划的面试题：

已知橙卡的抽取率是 10% ，抽一次卡是 1 块钱；而 10 连抽的包可以帮你按同样概率连抽 10 次，但如果没有抽到橙卡的话，系统会补偿一张橙卡给你，换掉 10 张白卡中的一张。

假设白色一文不值，只有橙卡值钱。

那么请问：这个 10 连抽的包到底价值多少？