标签：矩形覆盖

趣题：用 k × 1 的矩形覆盖 n × n 的正方形棋盘

这篇讲的是一个有趣的棋盘覆盖问题：用 k×1 的小矩形去铺满 n×n 的大棋盘，如果无法完全盖住，那么总有一种方案能使得剩余的空格数 m(n, k) 达到最少。文章的核心结论是，这个最小的剩余格子数，无论 n 和 k 取何值，永远是一个完全平方数。 作者从问题的直观定义出发，首先处理了 n k/2，作者则展示了一种更精巧的“风车式”填充策略，可以使得最终只留下一个边长为 k-r 的小正方形空白，此时 m(n, k) = (k-r)²。由于 r 和 k-r 互为补数，在这两种情况下，m(n, k) 的表达式都自然形成了一个平方数。 整个证明过程中，作者引入了一个在棋盘格子上按对角线循环填数的技巧，直观地解释了为什么当空白区域边长不超过 k/2 时，该覆盖方案已达到最优。这个数学谜题最终指向了一个简洁而普适的结论，展现了离散几何中一种精妙的优化与对称性。