数学之美：Reddit评论排名算法

    上一篇文章介绍了Reddit的排名算法，今天继续上一篇文章，需要学习的是reddit的评论排名算法。与文章新闻类排名不同的事，评论类的算法可能发表时间没有什么关系。

    目前很多网站采用的评论排名主要有两种，即绝对好评数(好评减去差评)和好评率(好评/总评)。这两种评价方式 都存在很明显的缺陷，以下为事例：

    首先是A与B比较，A的绝对好评数是550-450=100，B的绝对好评数是60-40=20，从绝对好评数比较，A的排名应该在B的前面；A的好评率为550/(450+550)=55%，B的好评率为60/(40+60)=60%，从好评率来说B的排名要比A的排名好。

    再来比较下C与D，从好评率出发，C的好评率为100%，而D的好评率为9/(1+9)=90%，单纯从数据上看D的排名要比C的排名落后。对于评论排名上述的方法是否是我们所需要的呢？这样的计算才能更好的体现评论价值？正确的排名算法应该是怎样的？

    我们先做如下设定：

    如果你熟悉统计学，可能已经看出来了，p服从一种统计分布，叫做“两项分布”(binomial distribution)。

    p越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。但是，p的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p就不可信。由于p服从”两项分布”，因此我们可以计算出p的置信区间。所谓“置信区间”，就是说，以某个概率而言，p会落在的那个区间。比如，某个产品的好评率是 80%，但是这个值不一定可信。根据统计学，我们只能说，有 95% 的把握可以断定，好评率在 75% 到 85% 之间，即置信区间是[75%， 85%]。

    通过上面的分析，我们就可以推断出，如果要给一个评论进行排名，就需要考虑一下内容：

    这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。比如，A有 8 张赞成票，2张反对票；B有 80 张赞成票，20张反对票。这两个项目的赞成票比例都是 80%，但是B的置信区间(假定[75%， 85%])会比A(假定[70%， 90%])窄得多，因此B的置信区间的下限值(75%)会比A(70%)大，所以B应该排在A前面。

    置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。

    二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的是“正态区间”(Normal approximation interval)，教科书里几乎都是这种方法。但是，它只适用于样本较多的情况(np > 5 且 n (1 − p) > 5)，对于小样本，它的准确性很差。

    1927年，美国数学家 Edwin Bidwell Wilson 提出了一个修正公式，被称为“威尔逊区间”，很好地解决了小样本的准确性问题。Reddit 目前使用的是评论算法就是基于威尔逊得分区间 (Wilson score interval)。具体代码片段可从开放的源代码中找到，将其转化成Python代码后：

from math import sqrt

def _confidence(ups, downs):
    n = ups + downs

    if n == 0:
        return 0

    z = 1.0 #1.0 = 85%, 1.6 = 95%
    phat = float(ups) / n
    return (phat+z*z/(2*n)-z*sqrt((phat*(1-phat)+z*z/(4*n))/n))/(1+z*z/n)

def confidence(ups, downs):
    if ups + downs == 0:
        return 0
    else:
        return _confidence(ups, downs)

    使用到的威尔逊得分区间具体公式如下：

    其中

    参考文章：

    http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval#Wilson_score_interval

    http://blog.reddit.com/2009/10/reddits-new-comment-sorting-system.html

    http://www.evanmiller.org/how-not-to-sort-by-average-rating.html