最近读了一本书：《数学的雨伞下》。阅读体验非常好，这本书用浅显的语言，科普了许多深刻的道理。这本书所介绍的知识结构比较类似我挺喜欢的另一本《从一到无穷大》，但讲解更为细致一些，以至于如果事先明白这些知识，甚至会觉得有些冗长。但细细品味，会觉得理解能更深一层。
我在通读完一遍之后，这几天带着儿子精读。重读第一章中“对数之桥”一节时，我思考了一个问题：当年纳皮尔 Napier 到底出于什么动机制作一张高精度对数表，他制表的计算思路是怎样的。书中并没有答案，所以我又在互联网上翻看了当年 Napier 原著 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio 的介绍，感觉收获颇丰。
制作对数表的直接原因当然是为了简化大数乘除法的计算。对数概念的提出在幂概念建立之前，而现在的数学教学中，一般却是从幂自然推导到对数的。似乎后者才是自然而然的。这应该是因为，古人研究数学，最初是为了解决现实中的问题。所以，乘法必须有对应的几何意义。比如，计算正方形面积需要把计算边长的平方；立方体的体积需要计算边长的立方。更高次的幂却难有对应的几何意义，有理数幂则更为抽象。
现实中，也很难碰到极大的数字，超乎寻常的精度需求也很小，除了天文学。
人无法以上帝视角在宇宙空间中做测量，只能以地球为基点。所以，天文尺度的计算都依赖三角学。把天文（以及地理这种地球尺度的）数字问题化为三角函数，然后再加以计算。比如，测量地球到太阳的距离、地球到月球的距离、地球的直径都是这样。因为这些尺度都非常大，如果计算精度不够，就容易失之毫厘，差之千里。
为了测算太阳系内天体的距离，可以在地球表面找两个尽可能远的点（最多相距地球的直径），观察天体，记录下天体在视野中的角度。这样，地球表面的两个端点和被观察的天体，就构成了一个三角形。三角形的底边就是两地的距离，而顶角则可以对比两地观测的结果得到。这就是三角视差法。可想而知，对于太阳系内的天体，这个视察角度非常小，需要极高的观测精度和计算精度才能计算出距离（远大于地球直径）。
甚至，这个方法可以运用到测量附近恒星到地球的距离。这几乎是人类利用三角法能测算的最大尺度。在地球表面找两个点已经不够了，因为那最长不超过地球的直径。更长的标尺只有地球绕太阳的轨道：在一年中隔半年做一次观察，这两个观测点在宇宙空间中就隔了地球和太阳距离的两倍长，这总该够长了吧？其实不然。在这个尺度上，古人依然观察不到星星的位置相隔半年的星图中有所不同。这也是为什么日心说提出后，不光是神学家不接受，连天文学家（比如第谷）也不接受。
如果地球围着太阳转，而地球距离太阳如此之远，那么就算是恒星离得再远，地球位于太阳两侧时，总能观测到某些明亮（离我们相对较近）的星星位置有些许偏差吧？人类难以相像太阳系外的宇宙如此空旷。事实是，太阳以外的恒星离我们真的太远了，即使以地日这种天文距离为底边，和附近的恒星形成的等腰三角形的顶角也不到一秒。过去的测量工具的精度是完全不够用的。直到 19 世纪中叶（哥白尼死后 200 多年）人类才真正观测到天鹅座61/贝塞尔星 有 0.3 个秒视差，从而估算出离地球大约 10 光年左右。
测量精度是一方面，计算精度也很重要。在三角公式里算几个乘法，若是通过对数方法转换为加减法计算，而精度不够的话，恐怕结果会差上一个数量级。
纳皮尔在没有幂概念的基础上就发展出了对数概念，靠的还是寻求其几何意义。他的灵感来源并不是幂运算，而是三角公式。三角和差公式中，角度相加被转换为三角函数的乘法运算，这提示着，乘法和加法之间可以相互转换。纳皮尔的对数表也并不是现在意义的列一系列数字，逐个列出它们的对数。而是给出角度的三角函数值的对数。它可以看成是当时已存在的三角函数表的拓展。这也是为什么，纳皮尔的表只有 90 * 60 = 5400 项（对应四分之一圆周在分精度下的所有角度值），但数字精度却有小数点后 7 位。因为当时最精确的三角函数表是 7 位精度。
在没有计算机的年代，计算对数必须查对数表。那么最初的对数表怎么得到的呢？如果是按幂函数的逆去计算，那就涉及高次开方，人肉计算显然是不可能的。而且当时，还并没有发现对数和幂的互逆关系（那要等到 100 年后的欧拉），甚至连幂的概念都没有。
《数学的雨伞下》这本书为了让读者更容易理解对数表，举例子使用的是以 2 为底的对数。对数列是一个自然（等差）数列：1,2,3,4,5... ；真数列是 2, 4, 8, 16, 32 .... 这样一个等比数列。但实际这样制作对数表会难以实用，因为真数数列膨胀的太快了。如果要实用，最好真数数列的间隔不要太大。如果间隔太大，在利用它做乘法运算的时候，很多数字会偏差很大。
把对数用于快速计算乘法，选用怎样的底并不重要。当等差数列的差距为 0.00000001 时（因为当时的三角函数表有 7 位精度），等比数列的差值选为 1.0000001 或 0.9999999 最方便计算。因为这样，列出等比数列时，就不需要连续计算乘法，而只需要移位相加即可。一个十进制数乘以 1.0000001 只需要把这个移动 7 位的小数点，再加上原数即可。如果等比数列的公比为 1.0000001 ，其实是给对数表选择了一个以 (1+1/n)^n (n = 10^7) 的底。当然，这是现代数学的看法，在纳皮尔的时代，还没有发展出底这个概念。
纳皮尔研究的是三角对数，真数范围在 0 到 1 之间。当时的人并没有完整的小数和数级的概念。过去研究圆，使用的是一个超大的(10^7）的半径而不是今天流行的 1 。因为这样，三角函数才能近似为整数（对于 7 位精度，使用10^7 的圆半径，相当于比今天的三角函数放大了一千万倍）。btw, 纳皮尔在制作对数表的过程中，发明了小数点，用来保留计算过程中的精度。
他先构造了一个等比数列，再通过几何定义去计算其对数对应的等差数列。从现代观念看，纳皮尔选择的底约为 0.9999999^1000000 ，非常接近 1/e 。
在今天来看，如果我们想制作一张好用的对数表，真数列自然是越密越好。如果我们把 n 取无穷大，让 1/n 足够小，(1+1/n)^n 的极限即为欧拉数 e 。我想，这也是为什么欧拉数 e 被称为自然对数的底。纳皮尔的时代，无法通过“视对数函数为幂函数的逆函数”来建立这种直观的认识，人类深刻认识 e，要到百年后的欧拉。
关于纳皮尔如何制作对数表的，他自己写过构造方法一书。300 年后的 1914 年 EW Hobson 写了 John Napier and the invention of logarithms, 1614 纪念纳皮尔，详细讨论了纳皮尔原著中的方法。这篇文章在网上可以找到中文翻译。另可以参考这一篇文章 。
纳皮尔在计算过程中，充分考虑了计算的误差区间，严格保证他计算的对数表满足 7 位精度。他首先计算了 0.9999999 的 0 到 100 次方，然后计算 0.99999999^100 = 0.99999 的 0 到 50 次方。虽然计算这个等比数列只需要把前一个数字在十进制上移位并计算减法，这个计算工作并不难（并不需要算乘法），但纳皮尔在这一步把最后一项算错了：本应该是 0.999500122480 ，而他计算成了 0.9995001222927 。这个 bug 导致了使用最终的对数表会产生微小的误差（影响最后一位数字），纳皮尔自己觉得这个误差是三角函数表不精确导致的，并建议用 8 位精度重制三角函数表。