Heron 公式是一个已知三角形三边长便能直接求出其面积的经典公式。把三角形的三边长分别记作 a 、 b 、 c ，令三角形的半周长 p = (a + b + c) / 2 ，则三角形的面积可以用 Heron 公式 S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 求出。如果把 p = (a + b + c) / 2 代入式子，得到的公式其实也挺对称的： S = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。
现在，我们把这个公式看作是一个关于 c 的函数： f(c) = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。它的导数是多少？
注意到，利用平方差公式，根号内的式子可以进一步整理为 ((a + b)2 - c2)(c2 - (a - b)2) ，它的导数是 - 2c(c2 - (a - b)2) + 2c((a + b)2 - c2) = 4c(a2 + b2 - c2) 。因而，整个原函数的导数就是 c(a2 + b2 - c2) / (2 ・ √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) ) 。
有趣的是，当 a 、 b 、 c 满足勾股定理的关系 a2 + b2 = c2 时，导数值正好为 0 。这是为什么？ Heron 公式的导数的零点和勾股定理有什么联系呢？
假设一个三角形其中两边的长度已经固定，分别为 a 和 b 。但是，这个三角形的第三条边 c 是不确定的，因此整个三角形是活动的，三角形的面积也就成了一个关于 c 的函数 f(c) 。其中， c 的取值范围是从 |a - b| 到 a + b ，同时函数值从 0 开始逐渐增大，最后又变回 0 。而 f\'(c) = 0 则给出了三角形面积达到极大时的情形。什么时候三角形的面积达到极大呢？
如图，我们把 b 水平放置，并考虑 a 绕着它们的公共端点转动。显然，当 a 、 b 成直角时，三角形的高 h 最大，因而整个面积达到极大，此时 a2 + b2 = c2 ，这正是 f\'(c) = 0 的一个解。