今天又学到一种证明素数无穷多的方法。它是由 Filip Saidak 发现的，论文曾发表在 2006 年的 The American Mathematical Monthly 上。
首先注意到，两个相邻自然数一定是互质的(否则，假设他们有大于 1 的公因数 k ，则他们的差也能被 k 整除，这显然是不可能的)。现在，取一个自然数 n > 1 。由于 n 和 n + 1 是相邻自然数，因此 n 和 n + 1 是互质的。也就是说，n 的质因数和 n + 1 的质因数完全没有重合，因而 n(n + 1) 至少有两个不同的质因数。类似地，由于 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 是相邻自然数，因此他们是互质的，这说明 n(n + 1) 和 n(n + 1) +1 没有相同的质因数，也就是说 (n(n + 1))(n(n + 1) +1) 至少有三个不同的质因数。我们可以无限地这样推下去，从而得出，素数必然是无穷多的。
来源：http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html
素数无穷多的证明方法：