查找第K小的元素
感觉这是个经典问题了,但是今天看维基百科的时候还是有了新的发现,话说这个问题,比较挫的解决方案有先排序,然后找到第K小的,复杂度是O(nlogn),还有就是利用选择排序或者是堆排序来搞,选择排序是O(kn),堆排序是O(nlogk),比较好的解决方案是利用类似快速排序的思想来找到第K小,复杂度为O(n),但是最坏情况可能达到O(n^2),不过今天要说的,就是还有种方法可以使得最坏情况也是O(n)。
我们先来看用快速排序的思想来搞的方案。快速排序是找到一个数,然后把所有数分为小于等于那个数的一堆,和大于那个数的一堆,然后两段分别递归来排序,而我们查找算法里,由于知道第K小的元素会在哪一堆,这样只需要递归其中一对即可。
- import random
- def partition(arr, left, right, pivot):
- v = arr[pivot]
- arr[pivot], arr[right-1] = arr[right-1], arr[pivot]
- index = left
- for i in xrange(left, right):
- if arr[i] <= v:
- arr[i], arr[index] = arr[index], arr[i]
- index += 1
- return index-1
- def select(arr, left, right, k):
- while right - left > 1:
- index = partition(arr, left, right, random.randint(left, right-1))
- dist = index - left + 1
- if dist == k:
- return arr[index]
- if dist < k:
- k -= dist
- left = index + 1
- else:
- right = index
- return arr[left]
之后arr是要查找的数组,调用select即可找到第K小元素,如果pivot元素选的不好那么这个算法最坏的情况是O(n^2)。
现在讨论最坏情况下也是O(n)的方案,把所有的数分为5个一堆,那么总共会有n/5堆,对于每堆我们可以很快的找到中位数(因为只有5个所以很容易嘛),之后调用当前算法找到这n/5个中位数的中位数,用这个数来做pivot,所以这个算法被叫做Median of Medians algorithm。
把中位数的中位数作为pivot的话,那么原数组中便会有3/5*1/2个也就是3/10个小于等于这个pivot的,同理会有3/10大于这个pivot的,所以最坏情况下,数组被分为30%,70%或者70%,30%的两部分。
T(n)<=T(n/5)+T(7/10*n)+O(n)<=c*n*(1+9/10+(9/10)^2....)
所以T(n)=O(n)
也就是最坏情况下是O(n)。
- import heapq
- def partition(arr, left, right, pivot):
- v = arr[pivot]
- arr[pivot], arr[right-1] = arr[right-1], arr[pivot]
- index = left
- for i in xrange(left, right):
- if arr[i] <= v:
- arr[i], arr[index] = arr[index], arr[i]
- index += 1
- return index-1
- def select_heap(arr, left, right, k):
- tmp = arr[left:right]
- heapq.heapify(tmp)
- [heapq.heappop(tmp) for i in xrange(k-1)]
- return heapq.heappop(tmp)
- def median(arr, left, right):
- num = (right - left - 1) / 5
- for i in xrange(num+1):
- sub_left = left + i*5
- sub_right = sub_left + 5
- if sub_right > right:
- sub_right = right
- m_index = select_heap(arr, sub_left, sub_right, (sub_right-sub_left)/2)
- arr[left+i], arr[m_index] = arr[m_index], arr[left+i]
- return select(arr, left, left+num+1, (num+1)/2)
- def select(arr, left, right, k):
- while right - left > 1:
- pivot = median(arr, left, right)
- index = partition(arr, left, right, pivot)
- dist = index - left + 1
- if dist == k:
- return arr[index]
- if dist < k:
- k -= dist
- left = index + 1
- else:
- right = index
- return arr[left]
同理,如果快速排序每次选pivot时用Median of Medians algorithm也可以把最坏情况降低为O(nlogn)的。
建议继续学习:
扫一扫订阅我的微信号:IT技术博客大学习
- 作者:isnowfy 来源: isnowfy
- 标签: 快速排序
- 发布时间:2012-12-24 22:45:27
- [66] Oracle MTS模式下 进程地址与会话信
- [65] Go Reflect 性能
- [64] 如何拿下简短的域名
- [60] android 开发入门
- [59] 图书馆的世界纪录
- [59] 【社会化设计】自我(self)部分――欢迎区
- [58] IOS安全–浅谈关于IOS加固的几种方法
- [54] 视觉调整-设计师 vs. 逻辑
- [48] 界面设计速成
- [48] 读书笔记-壹百度:百度十年千倍的29条法则