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用 k × 1 的小矩形覆盖一个 n × n 的正方形棋盘,往往不能实现完全覆盖(比如,有时候 n × n 甚至根本就不是 k 的整倍数)。不过,在众多覆盖方案中,总有一种覆盖方案会让没有覆盖到的方格个数达到最少,我们就用 m(n, k) 来表示这个数目。求证:不管 n 和 k 是多少, m(n, k) 一定是一个完全平方数。
这是一个非常有趣的问题:能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点,使得这四个点恰好构成一个正方形?这个问题有一个非常简单巧妙的解法,你能想到吗? 答案:不行。为了证明这一点,首先注意到,如果...
给定一个正方形纸片,用上面这种方法可以折出一个等边三角形。你能看出这是为什么吗? 由对称性,组成等边三角形的前两道折痕显然一样长,我们只需要证明它们之间的夹角是 60 度即可。注意到,如图折叠后将会立即产生直角边是斜边长度一半的直角三角形, 30 度角由此产生。由此可知,前两道折痕和纸片边上的夹角都是 15 度,两折痕之间的夹角自然也就正好是 60 度...
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