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这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题。构造一个多边形,使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O :经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两份。这看起来不大可能对吧?但其实构造却并不困难。你能想出来吗?
想像一个圆盘在地面上滚动一周,那么圆周上一点所形成的轨迹就叫做旋轮线(或者摆线)。旋轮线下方的面积是多少,这是一个非常有趣的问题。据说, Galileo 曾经用一种非常流氓的方法,推测出了旋轮线下方的面积。他在金属板上切出一块圆片,再在金属板边缘剪下这个圆形所对应的旋轮线,把它们拿到秤上一称,发现后者的重量正好是前者的三倍。于是,他推测,半径为 r 的滚轮所产生的旋轮线,其下方的面积就是 3πr2 。
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