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等待的时间比你想象的更久

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     最近忙于写学年论文,一直没时间更新 Blog 。不过,我却并没有停止在网上闲逛的习惯。这几天会慢慢把最近看到的有意思的东西写下来。今天学到的一个比较有趣的东西就是:平均等待时间往往大于平均间隔时间的一半。

     比方说,有这么一趟公交车,平均每 10 分钟发一班车,但具体的发车时间是很不固定的。如果你在某个时刻来到车站,等到下一班车平均要花多久呢?很多人或许都觉得,平均等待时间应该是 5 分钟,毕竟平均间隔时间是 10 分钟嘛。然而事实上,平均等待时间是大于 5 分钟的。这是因为,10 分钟的发车间隔只是一个平均值,实际间隔有时是几分钟,有时是十几分钟。如果你出现在车站的时刻,正好位于几分钟的间隔中,你的平均等待时间显然就会小于 5 分钟;但如果你出现在车站的时刻,正好位于较长的间隔中,那么你的平均等待时间就会大于 5 分钟。关键就在这里:你出现在车站的时刻,更有可能落在了较长的发车间隔中。因而,平均等待时间会偏向于大于 5 分钟的情况。

     那么,如果公交车发车的时间足够随机,概率均等地分布在时间轴上(假设平均间隔仍是 10 分钟),那么当你来到车站时,平均需要多久才能等到公交车呢?答案或许很出人意料――平均等待时间就是 10 分钟。下面我们就来证明这一点。

    

     首先注意到,如果发车间隔依次为 X1, X2, …, Xn ,出现在车站的时刻不同,等候时间也会不同,其函数图象大致是锯齿形的。而平均等待时间,就是这个函数图象的平均高度,或者说所有阴影部分的面积和(也就是 X1, X2, …, Xn 的平方和的一半)除以这段时间总长(也就是 X1, X2, …, Xn 的和)。如果用 W 来表示平均等待时间的话,则

    

     另外,由于公交车的发车时间是完全随机的,因而发车间隔长度服从指数分布 λe-λx ,它的平均值 μ = 1/λ ,方差 σ2 = 1/λ2 ,后者正好是前者的平方。如果把上述所有 X 的方差记作 Var(X),那么

    

     但是

    

     因此

    

     也就是

    

     所以说

    

     这就表明,平均等待时间就是平均间隔时间!

     当然,转念一想,你会发现这其实并不难理解。由于发车时间是完全随机的,过去的都已经过去了,并不会对未来造成影响。也就是说,当你开始等车时,知道前面那趟车已经走了很久了,并不意味着下一班车就会更快到来。不管你出现在时间轴的什么位置,等到下一班车的平均时间都是一样的――平均的间隔时间。

     参考资料:

     http://mahalanobis.twoday.net/stories/3486587/

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