在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规(没有直尺)，如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这个问题，并借助复平面理论得到了很多一般的结果，其研究成果《锈规作图论》发表在了《中国科学技术大学学报》上。

     锈规作出等边三角形的方法非常漂亮：利用锈规作图，我们能构造出两点之间由单位长线段构成的折线段，进而实现平行四边形的构造(已知其中三个点，能够只用锈规找出第四个点)，进而完成等边三角形的构造。刚才提到的那篇“很老很老的文章”里有详细的描述，继续阅读之前，强烈建议先看一看。

     事实上，D. Pedoe 教授还提过另外一个问题：给定 A 、 B 两点，只用锈规能否作出 A 、 B 连线的中点？注意，由于没有直尺，线段 AB 实际上是画不出的。要想“隔空”找出线段的中点，显然并不容易。

     前几天翻起张景中的《数学家的眼光》，就是为了查阅这个问题的解决方法。《数学家的眼光》一书中详细描述了锈规作图找中点的方法，在这里和大家分享。

     有了作等边三角形的方法后，有一件很爽的事情，就是我们可以任意地倍长线段了。如图，给定 A 、 B 两点后，连续作三次等边三角形，我们便能得到 E 点，使得 A 、 B 、 E 在一条直线上，并且 AB = BE 。

     接下来的证明过程分成三步。首先我们将说明，如果线段 AB 的长度正好等于 1/√19 ，如何仅用锈规找出线段 AB 的中点。然后我们将进一步推出，只要线段 AB 的长度小于 2/√19 ，我们都能找出 AB 的中点。最后，我们将得到一种找出任意长线段的中点的办法。大家或许会说，在作图之前，我怎么知道 AB 有多长呢？读完全部证明后你就会发现，这其实无关紧要，我们不用知道 AB 的长度，最后得出的方法适用于任何长度的线段。

     首先假设 AB = 1/√19 。用刚才的倍长法，作出同一直线上的 B\' 、 C 、 C\' 三个点，使得 C\'B\' = B\'A = AB = BC。分别以 C 、 C\' 为圆心，以单位长为半径作圆，两圆相交于点 D 。因此， △DCC\' 就是一个腰长为 1 ，底边长为 4/√19 的等腰三角形。用勾股定理可以算出， DA (也就是等腰三角形的高)的长度为 √15 / √19， DB 的长度则为 4/√19 。接下来，倍长 BD 到 B\'\'，分别以 B 和 B\'\' 为圆心作单位圆，两圆交于 E 、 E\' 两点。显然， BB\'\' 和 EE\' 互相垂直平分，用勾股定理可以求出，DE = DE\' = √3 / √19 。最后，作出等边三角形 EE\'G ，容易看出 G 恰好落在 BD 上，并且用勾股定理可以算出 DG = 3/√19 。也就是说， G 点正好是 BD 的四等分点！

     用同样的方法，我们可以找出线段 AB 下方的另一个 G 点，不妨把它叫做 G\' 。作出以 G 、 B 、 G\' 为顶点的平行四边形 GBG\'M ，由相似关系可以得出， M 点就是 BB\' 的四等分点，也就是 AB 的中点了。

     接下来，我们将推出，只要 AB 的长度小于 2/√19 ，我们都能找出 AB 的中点来。像图中那样，以 AB 为底，连续作等边三角形，构成一个“五层宝塔”，最顶端的点记作点 K 。显然，三角形 ABK 是一个等腰三角形。用勾股定理不难算出， AK = BK = √19 ・ AB ，也就是说这个三角形的腰长是底边的 √19 倍。接下来，以 K 为圆心作单位圆，再分别以 A 、 B 为圆心画弧，与圆 K 分别交于 P 、 Q 两点。分别以 P 、 Q 为圆心作单位圆，把两圆的另一个交点记作点 C 。注意到， △BCQ 是一个腰长为 1 的等腰三角形。另外，在圆 Q 中，圆心角 ∠BQC 等于两倍的圆周角 ∠BKC ，而 ∠BKC 又是 ∠BKA 的一半，因此 ∠BQC = ∠BKA 。于是， △BCQ 和 △ABK 是顶角相等的两个等腰三角形，他们是相似的。因而， △BCQ 的腰与底之比也是 √19 : 1 ，因此 BC 的长度是 1/√19 。由对称性， AC 也等于 1/√19 。也就是说，我们做出了长度为 1/√19 的线段！接下来，找出 AC 的中点 D ，以及 BC 的中点 E ，作出平行四边形 CDME ， M 就是 AB 的中点了。

     当然，这需要 AB 的长度小于 2/√19 ，否则满足 AC = BC = 1/√19 的点 C 是不存在的。