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如果对Heron公式求导的话

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     Heron 公式是一个已知三角形三边长便能直接求出其面积的经典公式。把三角形的三边长分别记作 a 、 b 、 c ,令三角形的半周长 p = (a + b + c) / 2 ,则三角形的面积可以用 Heron 公式 S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 求出。如果把 p = (a + b + c) / 2 代入式子,得到的公式其实也挺对称的: S = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。

     现在,我们把这个公式看作是一个关于 c 的函数: f(c) = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。它的导数是多少?

     注意到,利用平方差公式,根号内的式子可以进一步整理为 ((a + b)2 - c2)(c2 - (a - b)2) ,它的导数是 - 2c(c2 - (a - b)2) + 2c((a + b)2 - c2) = 4c(a2 + b2 - c2) 。因而,整个原函数的导数就是 c(a2 + b2 - c2) / (2 ・ √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) ) 。

    

     有趣的是,当 a 、 b 、 c 满足勾股定理的关系 a2 + b2 = c2 时,导数值正好为 0 。这是为什么? Heron 公式的导数的零点和勾股定理有什么联系呢?

      

      

      

      

      

    

     假设一个三角形其中两边的长度已经固定,分别为 a 和 b 。但是,这个三角形的第三条边 c 是不确定的,因此整个三角形是活动的,三角形的面积也就成了一个关于 c 的函数 f(c) 。其中, c 的取值范围是从 |a - b| 到 a + b ,同时函数值从 0 开始逐渐增大,最后又变回 0 。而 f\'(c) = 0 则给出了三角形面积达到极大时的情形。什么时候三角形的面积达到极大呢?

    

     如图,我们把 b 水平放置,并考虑 a 绕着它们的公共端点转动。显然,当 a 、 b 成直角时,三角形的高 h 最大,因而整个面积达到极大,此时 a2 + b2 = c2 ,这正是 f\'(c) = 0 的一个解。

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