统计从1至400亿之间的自然数中含有多少个1？比如1-11中，有1，10，11这三个自然数有4个1。

    拿到这道题目，您会如何去计算呢？如果是计算机方面的面试，你又该如何去思考呢？也有同事拿这道题目谈到了“数学”与“数感”的理解，不过笔者却想谈一些更实际一些东西。

    如果是计算机方面的出现这道题目，我们可能首先想到的是挨个去找。比如1含有一个1,然后2不含有1，…10含有1个1, 11含有2个1，….直到4亿。实际去想想，可能还有第二种方法，即对于每一个数字，转换成一个字符串，然后查里面的1,这或许处理的时候简单一些，但思路基本一致。

  方法二：对于每一个数字，首先转换成字符串，然后查询里面的1的个数，然后求合。这实际上没有实质的进步，无论计算复杂度还是难度，都没有质的简化。实际上如果仔细观察的话，我们会发现给出的一个有效数字是4亿，也意味着除了最高位是4位，其它全是0，那么由此可以知道它的位数是9位以内的，如果是9位，最高位只可能是1、2、3。有了这些信息我们就可以进一步分析了。

    如果数字为9位，那么最高位只可能是1, 2, 3。如果最高位是1，那么剩余的8位可能含有1-8个1。因此进行分类分析。

    剩余8位含有1个1的情况：2 * C(8, 1) * P(7, 7)。

    剩余8位含有2个1的情况：3 * C(8, 2) * P(6, 6)。

    ….

    然后将上面的值进行求合。

    最高位是2, 3则可以进行类似计算，实际注意一下规范，可以利用上面的结果的。

    我们再考虑一下其它情况，即含有1 - 8位的情况。我们假设含有N位，以此来进行说明。

    最高位可能是1, 也可能是2-9，位不可能是0。因此可以利用上面类似的算法。

    S(N) = 2 * C(N-1, 1) + 3 * C(N-1, 2) …. + (N-1) * C(N-1, N-1) + 8*(1 * C(N-1, 1) + 2 * C(N-1, 2) + … + (N-1) * C(N-1, N-1))

             = ….(这里就看化简技巧了）

最终得出一个公式。实际上，如果你推出这样一个公司后，不一定需要化简，专门编一个子函数实现C(n, i)的实现即可，这样就更加把编程与数学统一起来解决问题了。

剩下的，如果读者有兴趣，自已来试试接下来的工作吧。

建议继续学习：

1. 数学常数e的含义    (阅读：9249)
2. 难倒犹太人的11个数学问题    (阅读：4386)
3. 看来看去都是看数学书    (阅读：3227)
4. 千万别学数学：最折磨人的数学未解之谜（二）    (阅读：2644)
5. 集数学与艺术于一体的几何幻方    (阅读：2419)
6. 数学之美：Marden定理    (阅读：1580)
7. [Java基础教程]第六章-Java数学运算符    (阅读：939)