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要使得这个概率最大，必须使得∑ n i=1 e 2 i   取最小值，这正好就是最小二乘法的要求。

高斯所拓展的最小二乘法成为了十九世纪统计学的最重要成就，它在十九世纪统计学的重要性就相当于十八世紀的微积分之于数学。 而勒让德和最小二乘的的发明权之争，成了数学史上仅次于牛顿、莱布尼茨微积分发明的争端。 相比于勒让德1805给出的最小二乘法描述，高斯基于误差正态分布的最小二乘理论显然更高一筹， 高斯的工作中既提出了极大似然估计的思想，又解决了误差的概率密度分布的问题， 由此我们可以对误差的大小的影响进行统计度量了。高斯的这项工作对后世的影响极大，而正态分布也因此被冠名 高斯分布。估计高斯本人当时是完全没有意识到他的这个工作给现代数理统计学带来的深刻影响。 高斯在数学上的贡献特多，去世前他是要求给自己的墓碑上雕刻上正十七边形，以说明他在正十七边形尺规作图上的杰出工作。 而后世的德国钞票和钢镚上是以正态密度曲线来纪念高斯，这足以说明高斯的这项工作在当代科学发展中的分量。

17-18世纪科学界流行的做法，是尽可能从某种简单明了的准则(first principle)出发进行推导， 高斯设定的准则“最大似然估计应该导出优良的算术平均”，并导出了误差服从正态分布，推导的形式上非常简洁优美。 但是高斯给的准则在逻辑上并不足以让人完全信服，因为算术平均的优良性当时更多的是一个直觉经验，缺乏严格的理论支持。 高斯的推导存在循环论证的味道：因为算术平均是优良的，推出误差必须服从正态分布； 反过来，又基于正态分布推导出最小二乘和算术平均，来说明最小二乘法和算术平均的优良性。 这陷入了一个鸡生蛋蛋生鸡的怪圈，逻辑上算术平均的优良性到底有没有自行成立的理由呢？

高斯的文章发表之后，拉普拉斯很快得知了高斯的工作。 拉普拉斯看到，正态分布既可以从作为抛钢镚产生的序列和中生成出来，又可以被优雅的作为误差分布定律， 这难道是偶然现象？拉普拉斯不愧为概率论的大牛，他马上将误差的正态分布理论和中心极限定理联系起来，提出了元误差解释。 他指出如果误差可以看成许多量的叠加，则根据他的中心极限定理，则随机误差理所应当是高斯分布。 而20世纪中心极限定理的进一步发展，也给这个解释提供了更多的理论支持。因此有了这个解释为出发点， 高斯的循环论证的圈子就可以打破。 估计拉普拉斯悟出这个结论之后一定想撞墙，自己辛辛苦苦寻寻觅觅 了这么久的误差分布曲线就在自己的眼皮底下，自己却长年来视而不见，被高斯给占了先机。

至此，误差分布曲线的寻找尘埃落定，正态分布在误差分析中确立了自己的地位，开始并在整个19世纪不断的开疆扩土， 直至在统计学中鹤立鸡群，傲世其它一切概率分布；而高斯和拉普拉斯的工作，为现代统计学的发展开启了一扇大门。

在整个正态分布被发现与应用的历史中，棣莫弗、拉普拉斯、高斯各有贡献，拉普拉斯从中心极限定理的角度解释它， 高斯把它应用在误差分析中，殊途同归。正态分布被人们发现有这么好的性质，各国人民都争抢他的冠名权。 因为 Laplace 是法国人,所以当时在法国被称为拉普拉斯分布; 而高斯是德国人, 所以在德国叫做高斯分布；第三中立国的人民称他为拉普拉斯-高斯分布。后来法国的大数学家庞加莱(Henri Poincaré)建议改用正态分布这一中立名称,而随后统计学家卡尔.皮尔森使得这个名称被广泛接受：

Many years ago I called the Laplace-Gaussian curve the normal curve, which name, while it avoids an international question of priority, has the disadvantage of leading people to believe that all other distributions of frequency are in one sense or another "abnormal".}

 -Karl Pearson (1920) 

不过因为高斯在数学家中的名气是在太大, 正态分布的桂冠还是更多的被戴在了高斯的脑门上，目前数学界通行的用语是正态分布高斯分布, 两者并用。

正态分布在高斯的推动下，迅速在测量误差分析中被广泛使用，然而早期也仅限于测量误差的分析中， 其重用性远没有被自然科学和社会科学领域中的人们所认识，那正态分布是如何从测量误差分析的小溪， 冲向自然科学和社会科学的汪洋大海的呢？

建议继续学习：

1. 正态分布的前世今生(一)    (阅读：4031)
2. 正态分布的前世今生(四)    (阅读：2508)
3. 正态分布的前世今生(二)    (阅读：2392)
4. 正态分布的前世今生(五)    (阅读：1719)