量纲法竟然还能这样用
公式 h = (1/2)・g・t^2 里, t 头上的平方并不奇怪。显然,物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的,高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位,是米除以平方秒的形式;为了得出一个以长度为单位的结果,我们必须要消除分母位置上的“平方秒”,因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。
类似地, E = m・c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米,牛本身又是千克乘以米每平方秒,刨根到底能量的单位就该是 千克・(米^2)/(秒^2) ,正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。
在数学中,量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数, Heron 公式 A = √s(s - a)(s - b)(s - c) 看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数,我们有多种定义其平均数的方案,包括所有数之和的 n 分之一(算术平均数),所有数乘积的 n 次方根(几何平均数),所有数的倒数和的倒数的 n 倍(调和平均数),所有数的平方和的 n 分之一的平方根(均方根),等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致,因此在各种平均数的公式里,平方了就要开回去,取倒了还得倒回来,全乘在一起就得开 n 次方,这样才能得到同样类型的数。
自从在《怎样解题》里看到了量纲法,在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲,慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天,我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子,在这里和大家分享。
在微积分里,下面这个公式是一个相当帅气的结论:
它的推导过程也非常帅,大家可以在这里欣赏到。
不过这并不是这篇文章的重点。我们的问题是,下面这个定积分等于多少?
或者一般地,下面这个定积分等于多少?
毫无疑问,随着 α 值的变化,定积分的结果也会随之变化。我们关心的是,这个结果究竟会随着 α 怎样变?这个式子是对 x 进行积分,我们不妨假设 x 是一个表示长度的量,它的单位是米。首先,指数表示“多少个底数相乘”,应该是一个数,是不会有单位的。也就是说,指数 -α・x^2 应该是无量纲的。但 α 后面乘了一个 x^2 ,因此 α 本身的量纲就应该是 1/(米^2) 。由于底数 e 是一个没有单位的常数,因此连续的 e 相乘也是没有单位的; dx 是 x 变化一点点的量,它的量纲和 x 一致,也是米;因而, e^(-2x^2) dx 的单位也就是米了。而对这些以长度为单位的量进行求和,得到的结果也只能是“多少多少米”的形式。也就是说,整个定积分应该会得到一个以米为单位的量。
同时,定积分的结果也是一个关于 α 的函数。但是, α 是一个以 1/(米^2) 为单位的量,怎样才能把它变成一个以米为单位的量呢?答案就是, α 必然要以 1/√α 的形式出现在定积分的结果中。也就是说,整个定积分就是 1/√α 乘上一个系数。至于这个系数究竟是多少,前面的公式已经给了我们充分的条件了:当 α = 1 时,定积分的值是 √π (也即 √π/√α ),也就是说这个系数就是 √π 。因此,结论就是:
注意到,我们完全用量纲法,推导出了一个定积分运算结果的形式!
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- 作者:Matrix67 来源: Matrix67: My Blog
- 标签: 量纲法
- 发布时间:2011-08-22 12:28:04
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