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趣题:构造多边形使得过边界上某一点的任意直线均能等分面积

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     这是 2008 年莫斯科数学竞赛中的一个问题。构造一个多边形,使得这个多边形的边界上存在这样的一个点 O :经过点 O 的任意直线均会把该多边形分成面积相等的两份。这看起来不大可能对吧?但其实构造却并不困难。你能想出来吗?

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

         

     首先,在平面直角坐标系的第一象限内,沿着坐标轴放置一个等腰直角三角形。在第二象限内,拼接一个面积相等的等腰梯形。在第三象限和第四象限内,继续摆放面积相等的等腰梯形,并且让它们离原点越来越远,以保证最终所得的图形确实是一个多边形(而不是一块环形区域)。现在,把平面直角坐标系的原点记作点 O ,则过点 O 的任意一条直线都将把整个多边形分成面积相等的两份。

         

     为了验证这一点,我们举一个例子。如上图,过点 O 作一条过一三象限的直线。容易看出,三角形 OAB 的面积占了三角形 OPB 面积的几分之几,三角形 OCD 的面积就占了三角形 OQD 面积的几分之几,同样地三角形 OEF 的面积就占了三角形 ORF 面积的几分之几,从而梯形 CDFE 的面积就是梯形 QDFR 的几分之几。由于三角形 OPB 的面积等于梯形 QDFR 的面积,因此三角形 OAB 的面积也就总是等于梯形 CDFE 的面积。自然,三角形 OAP 的面积也等于梯形 QCER 的面积了。而第二象限和第四象限的图形面积也是相等的,因此这条直线两侧的面积相等。过点 O 作其他方向上的直线,两侧的面积也相等,道理也一样。

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