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• 千万不要迷信规律：大反例合集

数学猜想并不总是对的，错误的数学猜想不占少数。只不过因为反例太大，找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多“大反例”的例子，里面提到的规律看上去非常诱人，要试到相当大的数时才会出现第一个反例。千万不要迷信规律圆上有 n 个点，两两之间连线后，最多可以把整个圆分成多少块？上图显示的就是 n 分...

• 今天才知道，空壳星球的内部是没有重力的

曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重...

• 趣题：不用相似怎么办？

我老早就写过一个经典的小学几何题。如果你还没看过这个问题，你一定要去看看。一个小学奥数老师曾经告诉我，当年带领学生参加这次竞赛时，领队老师们都没有想到这个问题的“小学生解法”，以至于开始质疑这道题是否超纲了。看到答案后，老师们大为折服――这个问题确实有一个无需任何几何知识的妙解。今天，同样的事情发生了。今天临时去...

• 漫话中文分词算法

记得第一次了解中文分词算法是在 Google 黑板报上看到的，当初看到那个算法时我彻底被震撼住了，想不到一个看似不可能完成的任务竟然有如此神奇巧妙的算法。最近在詹卫东老师的《中文信息处理导论》课上再次学到中文分词算法，才知道这并不是中文分词算法研究的全部，前前后后还有很多故事可讲。在没有建立统计语言模型时，人们还在语言学的角度对自动分词进行研究，期间诞生了很多有意思的理论。 ...

• UyHiP趣题：限制最苛刻的选票统计程序

因为忙，不少计划写下来的东西都一直搁置着。其中一个拖了很久都没写的就是 UyHiP 一月的题目了。这是一道看上去非常困难的算法题目，当时我没能解答出来；看到答案后才恍然大悟，拍案叫绝。这是一道非常少见的算法好题，在这里记下来。一个国家里有 N 个公民，这些公民从 1 到 N 依次编号。这是一个民主国家，国家做出的每个决定都需要全体公民投票，每个人必须且只能投一票。...

• UyHiP趣题：拉灯游戏总有解吗？

某公司有 n 间办公室。每间办公室都有一盏灯，拉动它的开关即可改变电灯的状态。某些办公室之间存在“业务相关”的关系（这是一个对称的关系）。一个办公室可以和 0 到任意多个办公室相关。愚人节那天，有人在大家上班之前偷偷对办公室的电灯开关做了手脚：拉动任何一个办公室的电灯开关，都会同时改变该办公室以及所有相关办公室的电灯状态。初始时，所有灯都是关着的。证明：等到大家来上班后，总能用有...

• UyHiP趣题：如果每个人都随大流，结果会怎样？

一个公司里有 n 个员工，其中某些员工之间有“好友”的关系（这是一个对称的关系）。每天早晨来到公司，员工们都会从茶和咖啡中选择一样作为早饮。此时，每个员工都会观察自己的朋友们都在喝啥：如果超过一半的人都在喝茶，第二天他自己也会跟着喝茶；如果超过一半的人都在喝咖啡，第二天他自己就会跟着喝咖啡；如果喝茶喝咖啡的人数各占一半（仅当他有偶数个朋友时才会发生这种情况），则第二天他的决策...

• 44个精彩的物理趣题

这个 Blog 几乎一直在讲数学趣题，却很少提到物理趣题。其实，我个人觉得，物理也是相当好玩的（我是化学不好才选的文科）。隐约记得初中搞物理竞赛时，曾见过大量让人大呼过瘾的好题。前几天看到了一个绝好的网站，里面有相当多的物理题目，让我激动了好一阵子。我搜集整理了里面的一些好题，加上了我自己的一些补充，在这里和大家分享。不过，由于我的物理实在不怎么样，如果出现什么错误，请大家及时纠...

• 锈规作图续篇：单用一个只能画单位圆的圆规如何作线段中点

在这个 Blog 的一篇很老很老的文章里，我曾经讲过一个非常有趣的几何作图问题，这个问题最早是由 D. Pedoe 教授在 1983 年提出的：给定 A 、 B 两点，只用一个生锈的圆规（没有直尺），如何找出一个点 C ，使得 A 、 B 、 C 恰好构成一个等边三角形？所谓“生锈的圆规”，也就是一个被卡住的圆规，它的两脚张角不能改变。我们不妨假设，它只能画出单位大小的圆。1987 年，我国的侯晓荣等人成功地解决了这...

• 趣题：公司应该雇用多少员工？

某大公司有这么一个规定：只要有一个员工过生日，当天所有员工全部放假一天。但在其余时候，所有员工都没有假期，必须正常上班。这个公司需要雇用多少员工，才能让公司一年内所有员工的总工作时间期望值最大？假设一年有 365 天，每个员工的生日都概率均等地分布在这 365 天里。你的第一感觉或许是，公司应该雇用 100 多人，或者 200 多人吧。答案或...

• Kolakoski序列：我们知道的还是太少

上帝创造了整数，其余的则是我们人类的事了。正因为如此，质数、完全数、Fibonacci 数之类的数列才会让数学家们如痴如醉，因为它们的存在是如此自然，没有任何人造的因素。事实上，数学家们对这些数的认识也越来越丰富，挖掘出了这些数列中越来越深刻的性质。不过，人类确实太渺小了。还有好多构造异常简单的“纯天然数列”，我们了解得实在太少。Kolakoski 数列就是最好的例子...

• 趣题：老鼠与毒药问题的推广

今天的趣题来源于 IBM Ponder This 三月份的谜题。大家应该都听说过这个老题目：有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？这个问题的答案也堪称经典：把瓶子从 0 到 999 依次编号，然后全部转换为 10 位二进...

• 等待的时间比你想象的更久

今天学到的一个比较有趣的东西就是：平均等待时间往往大于平均间隔时间的一半。比方说，有这么一趟公交车，平均每 10 分钟发一班车，但具体的发车时间是很不固定的。如果你在某个时刻来到车站，等到下一班车平均要花多久呢？很多人或许都觉得，...

• 数学之美：垂心的各种优雅的性质

三角形的奇迹首先表现在各个“心”上：三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点，这个点就叫做三角形的“内心”，它是三角形内切圆的圆心；三边的中垂线交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”，它是三角形外接圆的圆心；三角形的三条中线也交于一点，这个点叫做三角形的“重心”，因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出，它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。

• 趣题：八等分一张圆饼最少需要多少刀？

一个有趣的智力题：将一张摊好的软面饼分成八等份，最少需要几刀？你可以任意折叠这张面饼。

• 蛋疼研究之单词等式

先给大家看两个“单词等式”： ACT + DEAL = DONE COIN + TRY = DIAL 除了意义上说得通以外，从另外一个角度来看，这两个等式也是成立的。大家能猜到是什么吗？答案是：这两个等式真的就是成立的――如果把单词看作 36 进制数的话。把 ACT 转换成 10 进制就是 13421 ，把 DEAL 转换成 10 进制就是 625053 ，而 DONE 的 10 进制正好就是 638474 ...

• 趣题：能否把三维空间分成无穷个圆？

这是一个非常经典的问题：是否存在无穷个互不相交的圆，它们并在一起就是整个三维空间？换句话说，能否用圆形既无重复又无遗漏地填满整个三维空间？我很早就见过这个问题。我第一次看到这个问题时，显然没能理解到这个问题的精妙之处。当时我在想，这不是显然可以吗？把三维空间想像成无穷个平行平面的并集，而每个平面又可以看作是由无穷多个同心圆组成的，这样一来整个空间不...

• 漫话折纸几何学

前几天，一篇叫做用正方形纸片折出等边三角形的日志引起大家的讨论，折出正七边形和折出角三等分线的方案更是让大家争论不休。提得最多的问题就是，折纸为什么要比尺规作图更强？这是一个好问题。我查了不少资料，了解到不少折纸几何的历史，收获颇大，不赶紧记下来就亏大了。于是有了这篇文章。要解答为何折纸如此强大，首先我们得解决一个问题：什么叫折纸。折纸的游戏规则...

• 另类称球趣题：验证砝码所标克数的正确性

有六个砝码，它们的重量分别是 1 克、 2 克、 3 克、 4 克、 5 克、 6 克。每个砝码上都标有这个砝码的重量，但由于生产过程中的疏忽，重量有可能被标错了。请你用天平称两次，来检验这些砝码所标克数是否完全正确。答案：先把标有 1 、 2 、 3 的砝码放在天平左边，把 6 放在天平右边。

• 用正方形纸片折出等边三角形

给定一个正方形纸片，用上面这种方法可以折出一个等边三角形。你能看出这是为什么吗？由对称性，组成等边三角形的前两道折痕显然一样长，我们只需要证明它们之间的夹角是 60 度即可。注意到，如图折叠后将会立即产生直角边是斜边长度一半的直角三角形， 30 度角由此产生。由此可知，前两道折痕和纸片边上的夹角都是 15 度，两折痕之间的夹角自然也就正好是 60 度...